HĐ3 trang 23 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng y = x −1 như hình 1.24.

a) Với x > −1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = x – 1. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞?

b) Chứng tỏ rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Lời giải:

a) Ta có y = x – 1 ⇔ x – y – 1 = 0 (d).

Khi đó $MH=d(M,d)=\frac{\left|x-f\left(x\right)-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|x-1-\left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{x+1}$(vì x > −1).

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2}}{x+1}=0$.

Vậy MH sẽ dần tới 0 khi x → +∞.

b) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x-1+\frac{2}{x+1}-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}=0$.

Khi x tiến đến vô cùng, đồ thị của hàm số f(x) và đường thẳng y = x – 1 tiến gần nhau và hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng này cũng gần đến đường thẳng y = x – 1.