Bài 1.18 trang 25 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$;                                              b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Lời giải:

a) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Vậy $y=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=+\infty$;

Tương tự $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=-\infty$.

Vậy $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\infty ; \underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Vậy y = 2x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.