Bài 4 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right) = x^3 - \frac{3}{2}{x}^2$ trên đoạn [– 1; 2];

b) f(x) = x⁴ – 2x³ + x² + 1 trên đoạn [– 1; 1];

c) f(x) = e^x(x² – 5x + 7) trên đoạn [0; 3];

d) f(x) = cos 2x + 2x + 1 trên đoạn $\left[\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\mathrm{\pi }\right]$ .

Lời giải:

a) Ta có f'(x) = 3x² – 3x. Khi đó, trên khoảng (– 1; 2), f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 1.

f(– 1) = $-\frac{5}{2}$ , f(0) = 0, f(1) = $-\frac{1}{2}$ , f(2) = 2.

Vậy $\underset{[-1; 2]}{max}$f(x) = 2 tại x = 2, $\underset{[-1; 2]}{min}$f(x) = $-\frac{5}{2}$ tại x = – 1.

b) Ta có f'(x) = 4x³ – 6x² + 2x. Khi đó, trên khoảng (– 1; 1), f'(x) = 0 khi x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = 0.

f(– 1) = 5, $f\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{17}{16}$ , f(0) = 1, f(1) = 1.

Vậy $\underset{[-1; 1]}{max}$f(x) = 5 tại x = – 1, $\underset{[-1; 1]}{min}$f(x) = 1tại x = 0 hoặc x = 1.

c) Ta có f'(x) = e^x(x² – 5x + 7) + e^x(2x – 5) = e^x(x² – 3x + 2) = e^x(x – 1)(x – 2).

Khi đó, trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2.

f(0) = 7, f(1) = 3e, f(2) = e², f(3) = e³.

Vậy $\underset{[0; 3]}{max}$f(x) = e³ tại x = 3, $\underset{[0; 3]}{min}$f(x) = 7 tại x = 0.

d) Ta có f'(x) = – 2sin 2x + 2. Khi đó trên khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\pi \right)$, f'(x) = 0 khi x = $\frac{\pi }{4}$.

$f\left(\frac{-\pi }{2}\right)=-\pi$, f(π) = 2 + 2π, $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+\frac{\pi }{2}$.

Vậy $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]}{\max }f\left(x\right)=2+2\pi$ tại x = π, $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]}{\min }f\left(x\right)=-\pi$ tại x = $\frac{-\pi }{2}$.