Bài 2 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right) = \frac{4}{1 + x^2}$;

b) $f\left(x\right) = x - \frac{3}{x}$ trên nửa khoảng (0; 3].

Lời giải:

a) Ta có f'(x) = $\frac{-8x}{{(1 + x^2)}^2}$ . Ta có f'(x) = 0 khi x = 0.

Ngoài ra $\underset{x\to \infty }{\lim }$f(x) =0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy $\underset{\mathrm{ℝ}}{max} f\left(x\right)=f\left(0\right)=4$.

b) Xét hàm số $f\left(x\right) = x - \frac{3}{x}$  với x ∈ (0; 3].

Ta có f'(x) = $1 + \frac{3}{x^2}$ . Khi đó, trên nửa khoảng (0; 3], f'(x) > 0.

Ngoài ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=2$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy $\underset{(0;3]}{max} f\left(x\right)=f\left(3\right)=2.$