Bài 7 trang 20 Toán 12 Tập 1: Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức

V = k(R – r)r² với 0 ≤ r < R,

trong đó k là hằng số, R là bán kính bình thường của khí quản, r là bán kính khí quản khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Lời giải:

Xét hàm số V = k(R – r)r² với r ∈ [0; R)

Ta có V'(r) = k ∙ (– r²) + k(R – r) ∙ 2r = rk(2R – 3r).

Khi đó, trên nửa khoảng [0; R), V'(r) = 0 khi r = 0 hoặc r = $\frac{2}{3}R$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0; R)}{max}$V = $\frac{4}{27}k{R}^3$ tại r = $\frac{2}{3}R$ .

Vậy r = $\frac{2}{3}R$  thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất.