Bài 3 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right) = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng (0; + ∞);          

b) f(x) = x³ – 12x + 1 trên khoảng (1; + ∞).

Lời giải:

a) Xét hàm số $f\left(x\right) = x + \frac{4}{x}$  với x ∈ (0; + ∞).

Ta có f'(x) = $1 - \frac{4}{x^2}$. Khi đó, trên khoảng (0; + ∞), f'(x) = 0 khi x = 2.

Ngoài ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = $+\infty$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy $\underset{(0;+\infty )}{min}f\left(x\right)=f\left(2\right)=4$.

b) Xét hàm số f(x) = x³ – 12x + 1 với x ∈ (1; + ∞).

Ta có f'(x) = 3x² – 12. Khi đó, trên khoảng (1; + ∞), f'(x) = 0 khi x = 2.

Ngoài ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$f(x) = f(1) = - 10,$\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = $+\infty$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

$\underset{(1;+\infty )}{min}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-15$.