Bài 1.10 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = −x² + 4x + 3;

b) y = x³ – 2x² + 1 trên [0; +∞);

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên (1; +∞);

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 4; y' = 0 ⇔ x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y\left(2\right)=7$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) Trên [0; +∞), ta có y' = 3x² – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{4}{3}$.

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{5}{27}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Trên (1; +∞), có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 $\iff x=1-\sqrt{2}$ (loại) hoặc $x=1+\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là D = [0; 2].

Có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$

Có y' = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=\sqrt{2}$.