Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x² + 3;

b) y = xe^−x;

c) y = xlnx;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 4x³ – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\min }y=y\left(-1\right)=y\left(1\right)=2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = e^−x − xe^−x; y' = 0 ⇔ e^−x − xe^−x = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y\left(1\right)=\frac{1}{e}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là (0; +∞).

Có y' = lnx + 1; y' = 0 ⇔ lnx = −1 $\iff x=\frac{1}{e}$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là [1; 3].

Có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$;

$y^{\text{'}}=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0\iff \sqrt{3-x}=\sqrt{x-1}\iff x=2$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left[1;3\right]}{\min }y=y\left(1\right)=y\left(3\right)=\sqrt{2};\underset{\left[1;3\right]}{\max }y=y\left(2\right)=2$.