Bài 1.14 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải:

Thể tích của chiếc hộp là V = x².h (cm³).

Vì diện tích bề mặt bằng 108 cm² nên ta có:

x² + 4xh = 108

⇔ $h=\frac{108-x^2}{4x}$ (điều kiện $0<x<\sqrt{108}$).

Khi đó thể tích chiếc hộp là $V=\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=-\frac{x^3}{4}+27x$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V=-\frac{x^3}{4}+27x\left(0<x<\sqrt{108}\right)$.

Có $V^{\text{'}}=-\frac{3}{4}{x}^2+27$; V' = 0$\iff -\frac{3}{4}{x}^2+27=0\iff x=6$(vì $0<x<\sqrt{108}$)

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích lớn nhất của chiếc hộp là 108 cm³ khi x = 6cm và h = 3cm.