Bài 1.12 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 6x + 3 trên đoạn [−1; 2];

b) y = x⁴ – 3x² + 2 trên đoạn [0; 3];

c) y = x – sin2x trên đoạn [0; π];

d) y = (x² – x)e^x trên đoạn [0; 1].

Lời giải:

a) Ta có y' = 6x² – 6; y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.

Có y(−1) = 7; y (1) = −1; y(2) = 7.

Do đó $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=y\left(2\right)=7;\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y=y\left(1\right)=-1$

b) Ta có y' = 4x³ – 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$(loại) hoặc  $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ vì x ∈[0; 3].

Có y(0) = 2; $y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4}$; y(3) = 56.

Do đó $\underset{\left[0;3\right]}{\max }y=y\left(3\right)=56;\underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4}$.

c) Ta có y' = 1 – 2cos2x; y' = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{6}$hoặc $x=\frac{5\pi }{6}$ vì x ∈[0; π].

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; y(π) = π.

Do đó $\underset{\left[0;\pi \right]}{\max }y=y\left(\pi \right)=\pi ;\underset{\left[0;\pi \right]}{\min }y=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

d) Có y' = (2x – 1)e^x + (x² – x)e^x = (x² + x − 1)e^x;

y' = 0 ⇔ (x² + x − 1)e^x  = 0

⇔x² + x – 1 = 0

⇔ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(loại) hoặc $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) vì x ∈[0; 1].

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$; y(1) = 0.

Do đó $\underset{\left[0;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=y\left(1\right)=0;\underset{\left[0;1\right]}{\min }y=y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$.