Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge \mathrm{0,}$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Có $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}=\frac{5000e^t}{e^t+5}$.

Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{5000e^t\left(e^t+5\right)-5000e^{2t}}{{\left(e^t+5\right)}^2}=\frac{25000e^t}{{\left(e^t+5\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall t>0$.

Có $f"\left(t\right)=\frac{25000e^t.{\left(e^t+5\right)}^2-50000e^t\left(e^t+5\right)e^t}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(e^t+5\right)\left(e^t+5-2e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(5-e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^3}$

Có f"(t) = 0 ⇔ 5 – e^t = 0 ⇔ t = ln5.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có sau $\ln 5\approx 1,6$ năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.