Hoạt động 1 trang 5 Toán 12 Tập 1: a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập K ⊂ ℝ, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số y = f(x) = x² có đồ thị như Hình 2.

• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

• Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 2x.

• Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x² và dấu của đạo hàm f'(x) = 2x trên mỗi khoảng (– ∞; 0), (0; + ∞).

• Hoàn thành bảng biến thiên sau

Lời giải:

a) Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên K. Ta nói

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

Lưu ý: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên từ trái qua phải; nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống từ trái qua phải.

b)

• Quan sát Hình 2 ta thấy

+ Trên khoảng (– ∞; 0), đồ thị hàm số y = f(x) = x² đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

+ Trên khoảng (0; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) = x² đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (0; + ∞).

Ta có 2x > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và 2x < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).

Do đó, f'(x) > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).

• Mối liên hệ:

+ Trên khoảng (– ∞; 0), hàm số f(x) nghịch biến và f'(x) < 0.

+ Trên khoảng (0; + ∞), hàm số f(x) đồng biến và f'(x) > 0.

Với x = 0, ta có f(0) = 0² = 0 và f'(0) = 2 ∙ 0 = 0.

Bảng biến thiên: